Bằng cách biểu thị:

641 = 5 × 2 7 + 1 = 2 4 + 5 4 {\displaystyle 641=5\times 2^{7}+1=2^{4}+5^{4}}

Euler đã suy ra: 5 × 2 7 ≡ − 1 ( mod 641 ) {\displaystyle 5\times 2^{7}\equiv -1{\pmod {641}}} , dẫn đến 5 4 × 2 28 ≡ ( − 1 ) 4 ≡ 1 ( mod 641 ) {\displaystyle 5^{4}\times 2^{28}\equiv (-1)^{4}\equiv 1{\pmod {641}}} . Mặt khác 5 4 ≡ − 2 4 ( mod 641 ) {\displaystyle 5^{4}\equiv -2^{4}{\pmod {641}}} nên suy ra − 2 32 ≡ 1 ( mod 641 ) {\displaystyle -2^{32}\equiv 1{\pmod {641}}} . Vậy F5 chia hết cho 641.

Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của Fn đều có dạng k2n + 2 + 1.

Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.

Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích Fn ra tổng hai bình phương (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là:

F n = ( 2 2 n − 1 ) 2 + 1 2 {\displaystyle F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}} .

Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ Fn = x2 + y2 (với x > y) thì tính kết quả của:

gcd ( x + 2 2 n − 1 × y , F n ) {\displaystyle \gcd(x+2^{2^{n-1}}\times y,F_{n})} .

Ví dụ:

• F5 = 62 2642 + 20 4492, dẫn đến:

gcd ( 62.264 + 2 2 4 × 20.449 , F 5 ) = 641 {\displaystyle \gcd(62.264+2^{2^{4}}\times 20.449,F_{5})=641} .

• F6 = 4 046 803 2562 + 1 438 793 7592, dẫn đến:

gcd ( 4.046.803.256 + 2 2 5 × 1.438.793.759 , F 6 ) = 274.177 {\displaystyle \gcd(4.046.803.256+2^{2^{5}}\times 1.438.793.759,F_{6})=274.177} .

Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F5 đến F11, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.

Ví dụ:

• F1945 = 221945 + 1 có khoảng 9,5929 × 10584 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 5 × 21947 + 1 ≈ 6,3734 × 10586.
• F2 478 782 = 222 478 782 + 1 có khoảng 1,6343 × 10746 187 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 3 × 22 478 785 + 1 ≈ 1,3029 × 10746 189, đây là hợp số Fermat lớn nhất đã biết từ trước đến nay.